Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

 Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

 Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)

 Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

 Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

⎧​3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3)​

Lấy (2) cộng (3) ta được

�2+�2−��−��=2x2+y2−yz−zx=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

⇔[�=0�=−�⇔[x=0x=−z​

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Nhớ tick nha

$\{\begin{array}{c}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\ y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\ x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{array}$

Lấy (2) cộng (3) ta được

$x^2+y^2-yz-zx=2$ (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-z\end{array}$

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

PT (1) \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+xz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Nhận thấy VT\(\ge\)0 với mọi x,y,z

Dấu = xảy ra <=> x=y=z

Thay x=y=z vào pt (2) ta được:

\(3x^{2021}=3^{2022}\) \(\Leftrightarrow x^{2021}=3^{2021}\) \(\Leftrightarrow x=3\)

\(\Rightarrow x=y=z=3\)

Vậy (x;y;z)=(3;3;3)

hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{z+x}{xz}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) ( đk : x , y , z # 0 )

Cộng từng vế của các pt lại với nhau , ta có :

\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{13}{12}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}{24}-\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{13}{24}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{24}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{24}{7}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{24}{5}\left(tm\right);z=8\left(tm\right)\)

Ta có: x² + y² + z² = xy + yz + zx

<=> [(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] . 1/2 = 0

<=> x = y = z

Thay vào pt thứ 2...

AD BĐT cô - si cho ba số không âm x² ; y² ; z² , ta có :

x² + y² ≥ 2√x²y² = 2xy ( dấu bằng xảy ra khi x = y )

Tương tự : y² + z² ≥ 2yz ( dấu ... khi y = x )

z² + x² ≥ 2zx ( ... z = x )

⇒ 2 ( x² + y² + z² ) ≥ 2 ( xy + yz + zx )

⇔ x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx

Dấu = xảy ra khi x = y = z

⇒ x²⁰¹⁵ + y²⁰¹⁵ + z²⁰¹⁵ = 3x²⁰¹⁵ = 3²⁰¹⁶

⇔ 3²⁰¹⁵. x = 3²⁰¹⁵. 3 ⇒ x = 3

⇒ x = y = z = 3

\(\left\{\begin{matrix}x+xy+y=1\\y+yz+z=3\\z+zx+x=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\left(1\right)\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=4\left(2\right)\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=8\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy 2(1) - (2) ta được

\(2\left(x+1\right)\left(y+1\right)-\left(y+1\right)\left(z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(2x-z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\z=2x+1\end{matrix}\right.\)

Với y = -1 thì hệ vô nghiệm

Với z = 2x + 1 thì thế vô 3 được

\(\left(x+1\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Với x = 1 thì

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y=0\\z=3\end{matrix}\right.\)

Với x = - 3 thì

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\z=-5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x+xy+y=1\left(1\right)\\y+yz+z=3\left(2\right)\\z+zx+x=7\left(3\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=2\\y\left(z+1\right)+\left(z+1\right)=4\\z\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=8\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(y+1\right)\left(x+1\right)=2\left(1\right)\\\left(z+1\right)\left(y+1\right)=4\left(2\right)\\\left(x+1\right)\left(z+1\right)=8\left(3\right)\end{matrix}\right.\)(II)

Nhân theo vế: \(\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2=2.4.8=64\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=-8\left(5\right)\\\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=8\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

(5) và (II) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}z+1=-4\\x+1=-2\\y+1=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}z=-5\\x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

(6)và(II)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}z+1=4\\x+1=2\\y+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}z=3\\x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

Hệ \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=4\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=8\end{matrix}\right.\)

nhân theo vế => (x+1)(y+1)(z+1)=8

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\z+1=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=1\\y=0\\z=3\end{matrix}\right.\)

vậy hệ có nghiệm x=1,y=0,z=3